В журнале почтового сервера замечена ошибка: postfix/smtpd9137: warning: connect to Milter service unix:/var/run/opendkim/opendkim.sock: Permission denied

Для начала необходимо проверить, запущен ли демон OpenDKIM командой:

ls -l /var/run/opendkim

(путь может быть иным, он задаётся в файле /etc/opendkim.conf).
Если сокет отсутствует, необходимо попытаться запустить демона вручную:

service opendkim start

Если же сокет присутствует, то необходимо проверить наличие прав у почтового сервера для доступа к нему. И, в случае отсутствия оных, выдать их: либо изменив UMask в файле /etc/opendkim.conf, либо добавив пользователя, от имени которого работает почтовый сервер, в группу opendkim.
Возможно также, что почтовый сервер запущен с изменённым корневым каталогом (chroot), тогда в файле /etc/opendkim.conf необходимо изменить путь для сокета, указав директорию, доступную почтовому серверу.